La idea fundamental a este artículo fue estudiar y posteriormente representar en un fractal la iteración entre numerosos agentes que operan en un sistema de multiplicación y fraccionamiento geométrico.
Este tema por cierto muy amplio, aunque hoy en día se presentan algunos avances, el análisis realizado todavía es incipiente. El enfoque que pretendemos dar y plantear es multiplicidad y fraccionalidad de la evolución dinámica de formas geométricas encontradas en la naturaleza. Al margen de la indudable utilidad que se le puede dar, al análisis de estos sistemas complejos, que suelen considerar la coordinación de muchos procesos de coordinación.
Aquí la búsqueda se orienta a la representación de sistemas complejos a través de un fractal basado en teorías que pueden agruparse bajo el rotulo de ciencias del la complejidad.[1]
“La mayoría de los modelos que se realizaron han sido sólo representables computacionalmente”.
Palabras claves: Fractal, sistemas complejos, multiplicidad y fraccionalidad, fraccionamiento geométrico.[1]
1. INTRODUCCIÓN
El proyecto como objetivo final fue llegar a realizar una estructura geométrica, que muestre las características de “auto semejanza” y “dimensión fraccionaria” al estudiar la evolución dinámica de ciertas magnitudes.
Se entiende por auto semejanza el poseer la misma estructura cualquiera sea la escala en que se la observa; es decir, a través de sucesivas amplificaciones (diferentes cambios de escala), y se repite su forma fundamental (conserva el mismo aspecto).
En cambio la dimensión fraccionaria mide el grado de irregularidad o de fragmentación de un objeto: una dimensión entre 1 y 2 significa que se comparten las propiedades de una recta y de un plano.
Una estructura fractal es aquella que se genera por la repetición incansable de un proceso bien especificado (o sea, está gobernado por reglas determinísticas). Así, la naturaleza es capaz de crear eficazmente infinidad de formas -con diferentes grados de complejidad- únicamente reiterando innumerablemente el mismo proceso. En ínfimas modificaciones en las condiciones iníciales o en los parámetros de ese proceso pueden provocar imprevisibles cambios finales. Es por eso que la mayoría de los procesos complejos originan estructuras fractales. Y es por eso, también, que muchos fenómenos naturales aparentan tener una enorme complejidad, aunque -en realidad- poseen la misma regularidad geométrica
En general, las formas encontradas en la naturaleza son ejemplos de fractales: vasos sanguíneos y sus capilares, grietas tectónicas, franjas costeras, turbulencias de las aguas, copos de nieve, y una gran cantidad de otros objetos difíciles de describir por la geometría convencional.
2. Descripción del Fractal
Realizado el análisis basado en sistemas complejos, y geométricos difíciles de representar manualmente, hemos querido darle un proceso de simulación a este a través de un ordenador. Por eso utilizando un lenguaje de programación de alto nivel, se realizo la creación de 3 entornos, con 6 niveles de complejidad referentes al:
Triangulo de Sierpinski
Copo de Nieve de Koch
El Cubo de Hilbert
3.- Descripción de los entornos.
Triangulo de Sierpinski.- El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior
considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):
El triángulo de Sierpinski posee algunas propiedades importantes:
Se trata de un conjunto formado por infinitos puntos (conjunto infinito no numerable).
No existe ningún rectángulo abierto ("abierto" = no se consideran sus bordes), por pequeño que sea, que contenga únicamente puntos del triángulo de Sierpinski.
El conjunto de Sierpinski, junto con la aparición de otros conjuntos geométricos "patológicos" como el conjunto de Cantor, la curva de Peano, la curva de Hilbert, la curva de Koch obligaron a los matemáticos de principios de siglo a desarrollar conceptos nuevos y líneas nuevas de investigación (dimensión y medida de una curva o de un conjunto, auto semejanza, recursividad, sistemas de funciones iteradas, atractores, caos). Todo este conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot. A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea. [8]
El Cubo de Hilbert.- El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el Teorema de la Base de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes de cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia. [10]
Copo de Nieve de Koch.- El copo de nieve de Koch es una de las más sencillas figuras fractales, y una de las primeras. Fue inventada por el matemático sueco Helge von Koch en 1906. Su construcción es como sigue: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de π/3 radianes (60 grados). Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da 16 segmentos pequeños. Y así sucesivamente, sin nunca parar. La figura representa las seis primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación de la curva final. [9,11].
6. Conclusiones.
Conocer mediante el computador, el poder de simular algunos organismos de la vida real
Entender el concepto de fractal y conocer sus ventajas y limitaciones.
Conocer las diferentes técnicas usadas por los descubridores para conocer, como se comportan los virus.
Saber simular las diferentes fractales ante diferentes situaciones.
Saber como actúan mediante simulación los virus, y tener los conocimientos previos para poder tomar decisiones favorables.
Conocer mediante un fractal la repetición incansable de un proceso bien especificado (virus).
7. Referencias Bibliográficas.
[1] Red Cientifica. Sistema Complejos, caos y vida artificial. Sergio A Moriello.
[2] Borrajo, D.; Juristo, N., Martínez-Orga, V.; Pazos, J. (1993): Inteligencia Artificial — Métodos y Técnicas. CEURA
[3] Cuena, J. (1998): Sistemas Inteligentes, Ed. Univ. Politécnica de Madrid.
[4] http://www.aepia.org/
[5] Ginsberg, M. (1993): Essentials of Artificial Intelligence. Morgan Kaufmann
[6]http://www.eccai.org/
[7] Weiß, G. (ed.) (1999): Multi-Agent Systems — A Modern Approach to Distributed Artificial Intelligence. MIT Press
[8] Yang Hui: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Yang.html
Omar Khayyam: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Khayyam.html
Pascal: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pascal.html
Sierpinski: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html
[9]http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch"
[10]http://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert"
[11]"http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Koch"
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